Mathematik Gymnasium

Themen

1. Mengen, Logik und Beweisverfahren

   Ein einziges Gegenbeispiel stürzt eine Behauptung — tausend Beispiele beweisen sie nicht.

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2. Reelle Zahlen, Potenzen und Logarithmen

   Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten — und verwandelt Multiplikation in Addition.

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3. Funktionen: Begriffe und Transformationen

   Wer einen Graphen verschieben, strecken und spiegeln kann, kennt mit wenigen Grundfunktionen schon Hunderte von Kurven.

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4. Quadratische Gleichungen und Funktionen

   Die Diskriminante entscheidet über zwei, eine oder keine Lösung — bevor man überhaupt rechnet.

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5. Polynome, Nullstellen und Faktorisieren

   Jede Nullstelle ist ein Linearfaktor — deshalb zerfällt ein Polynom in seine Wurzeln.

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6. Exponential- und Logarithmusfunktionen

   Exponentielles Wachstum überholt jedes Polynom — nur merkt man es erst spät.

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7. Finanzmathematik: Zins, Rente, Kredit

   Sparplan, Säule 3a oder Hypothek: Hinter allen steckt dieselbe Idee, Geld zu verschiedenen Zeitpunkten fair zu vergleichen.

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8. Trigonometrie im Dreieck — Sinus, Kosinus, Tangens

   Aus zwei Messungen am Boden folgt die Höhe eines Berges, den man nie bestiegen hat.

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9. Trigonometrische Funktionen und Schwingungen

   Derselbe Sinus beschreibt den Kreis, die Schaukel, den Ton und den Wechselstrom.

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10. Folgen, Reihen und Grenzwerte

    Unendlich viele Summanden können eine endliche Summe ergeben — Achilles holt die Schildkröte ein.

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11. Differentialrechnung — die Ableitung und was sie bedeutet

    Die Ableitung ist die Steigung in einem einzigen Punkt — der Grenzwert immer kürzerer Sehnen.

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12. Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben

    Die grösste Dose mit dem wenigsten Blech: Optimieren heisst, die Ableitung null setzen.

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13. Integralrechnung — Fläche und Stammfunktion

    Ableiten und Integrieren sind Umkehrungen voneinander — das ist der Hauptsatz und alles andere als offensichtlich.

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14. Integrationsmethoden

    Ableiten ist Handwerk, Integrieren ist Kunst: Substitution, partielle Integration und Partialbrüche öffnen die schwierigen Fälle.

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15. Vektoren in der Ebene und im Raum

    Ein Vektor hat keinen Ort, nur Richtung und Länge — deshalb darf man ihn verschieben.

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16. Geraden und Ebenen im Raum

    Zwei Geraden im Raum müssen sich nicht schneiden und nicht parallel sein — sie können windschief sein.

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17. Kegelschnitte und Kreisgleichung

    Ein Kegel, eine Ebene, vier Kurven: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel beschreiben Planetenbahnen ebenso wie Satellitenschüsseln.

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18. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

    Das Gauss-Verfahren löst jedes lineare System — und sagt auch, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen gibt.

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19. Komplexe Zahlen

    Eine Zahl, deren Quadrat −1 ist: Was zuerst wie ein Trick aussieht, macht Drehungen, Schwingungen und Wechselstrom einfach berechenbar.

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20. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

    In einer Klasse von dreiundzwanzig haben mit über fünfzig Prozent Wahrscheinlichkeit zwei am selben Tag Geburtstag.

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21. Zufallsvariablen, Verteilungen und Testen

    Ein positiver Test bei einer seltenen Krankheit bedeutet oft trotzdem: wahrscheinlich gesund.

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22. Regression und Korrelation

    Lernzeit und Note, Temperatur und Glaceverkauf: Wie stark hängen zwei Grössen zusammen, und welche Gerade beschreibt das am besten?

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