Vollständige Induktion
Induktionsanfang, Induktionsschritt und typische Fehler.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 35 Min.
- Thema 4 von 12 im Kurs: Mathematik 1: Grundlagen
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Das lernst du in diesem Thema
- Die Idee: eine unendliche Kette von Schlüssen
- Warum das Prinzip gilt
- Summenformeln beweisen
- Ungleichungen und ein späterer Startwert
- Teilbarkeit und rekursive Formeln
- Varianten: starke Induktion und mehrere Vorgänger
- Typische Fehler
- Induktion in Informatik und Anwendungen
Aus den Merksätzen
- Induktionsprinzip: Gilt A(n₀) und für jedes n ≥ n₀ die Implikation A(n) ⇒ A(n + 1), so gilt A(n) für alle n ≥ n₀.
- Der Induktionsschritt zeigt eine Implikation; ohne gültigen Induktionsanfang ist nichts bewiesen.
- Das Prinzip beruht auf der Wohlordnung: Jede nichtleere Teilmenge von ℕ hat ein kleinstes Element.
- Bernoulli: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx für x ≥ −1 und n ∈ ℕ; die Bedingung x ≥ −1 ist nötig.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.