Skalarprodukt, Orthogonalität und Gram-Schmidt
Längen, Winkel und rechte Winkel in beliebigen Dimensionen, und wie man aus jeder Basis eine Orthonormalbasis macht.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 12 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Das Standardskalarprodukt und allgemeine Skalarprodukte
- Selbst ausprobieren: Skalarprodukt, Länge und Winkel
- Cauchy-Schwarz, Dreiecksungleichung und Winkel
- Orthogonalität und orthogonales Komplement
- Orthonormalbasen: Koordinaten durch Skalarprodukte
- Orthogonale Projektion und beste Approximation
- Das Gram-Schmidt-Verfahren
- Orthogonale Matrizen und QR-Zerlegung
- Typische Fehler und numerische Hinweise
Aus den Merksätzen
- Ein Skalarprodukt ist bilinear, symmetrisch und positiv definit; es definiert ‖x‖ = √⟨x, x⟩ und d(x, y) = ‖x − y‖.
- Cauchy-Schwarz: |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖‖y‖, Gleichheit genau bei linearer Abhängigkeit; daraus Dreiecksungleichung und Winkel cos θ = ⟨x, y⟩/(‖x‖‖y‖).
- Orthogonale Vektoren ungleich null sind linear unabhängig; dim U + dim U⊥ = n.
- In einer Orthonormalbasis gilt v = ∑ ⟨v, qᵢ⟩qᵢ; die Projektion auf U ist p = ∑ ⟨b, qᵢ⟩qᵢ und der nächstgelegene Punkt von U.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.