Diagonalisierung
Wann eine Basis aus Eigenvektoren existiert und wie man damit Matrixpotenzen, Wachstumsprozesse und gekoppelte Systeme entwirrt.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 11 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Was diagonalisierbar bedeutet
- Kriterien für Diagonalisierbarkeit
- Das Verfahren in vier Schritten
- Wann es nicht geht
- Potenzen von Matrizen
- Lineare Rekursionen: Fibonacci und Übergangsprozesse
- Entkoppeln gekoppelter Systeme
- Typische Fehler beim Diagonalisieren
Aus den Merksätzen
- A ist diagonalisierbar ⇔ es gibt eine Basis aus Eigenvektoren; dann A = SDS⁻¹ mit Eigenvektoren als Spalten von S und Eigenwerten in D.
- Kriterium: χ_A zerfällt in Linearfaktoren und für jeden Eigenwert gilt geometrische = algebraische Vielfachheit.
- n verschiedene Eigenwerte sind hinreichend, aber nicht notwendig für Diagonalisierbarkeit.
- Der Jordanblock [[λ, 1], [0, λ]] ist nicht diagonalisierbar; die Drehung um 90° ist es über ℝ nicht, wohl aber über ℂ.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.