Symmetrische Matrizen und Kleinste Quadrate
Warum symmetrische Matrizen immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren haben und wie man unlösbare Gleichungssysteme bestmöglich löst.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 13 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Symmetrische Matrizen und ihre Eigenwerte
- Der Spektralsatz
- Orthogonal diagonalisieren in der Praxis
- Quadratische Formen, Definitheit und Hauptachsen
- Überbestimmte Systeme und die Normalgleichungen
- Die Ausgleichsgerade
- Numerisch besser: QR, und ein Ausblick auf Datenanalyse
- Typische Fehler und Grenzen
Aus den Merksätzen
- Symmetrische reelle Matrizen haben nur reelle Eigenwerte; Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
- Spektralsatz: A = Aᵀ ⇔ A = QDQᵀ mit orthogonalem Q; ausgeschrieben A = ∑ λᵢqᵢqᵢᵀ.
- A symmetrisch ist positiv definit ⇔ alle Eigenwerte > 0; für 2×2: a > 0 und det A > 0.
- Hauptachsentransformation: x = Qy macht aus xᵀAx die Summe ∑ λᵢyᵢ² ohne gemischte Terme.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.