Kern, Bild und Rang
Dimensionsformel und Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 7 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Kern und Bild einer linearen Abbildung
- Injektivität, Surjektivität und der Kern
- Der Rang
- Die Dimensionsformel
- Zeilenrang gleich Spaltenrang
- Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme
- Folgerungen für Abbildungen und Matrizen
- Deutungen und typische Fehler
Aus den Merksätzen
- ker f = {v : f(v) = 0} ⊆ V und im f = {f(v)} ⊆ W sind Unterräume; für Matrizen ist im A der Spaltenraum.
- Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ker f = {0} ist.
- rang A = dim im A = Anzahl Pivots = Zeilenrang = Spaltenrang ≤ min(m, n).
- Dimensionsformel: dim V = dim ker f + rang f; für Matrizen dim ker A = n − rang A.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.