Determinanten
Eine einzige Zahl verrät, ob eine Matrix invertierbar ist und wie stark sie Flächen und Volumen verzerrt.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 8 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Von der Fläche eines Parallelogramms zur Determinante
- Die Determinante als multilineare alternierende Funktion
- Berechnung mit dem Gauss-Verfahren
- Laplace-Entwicklung nach Zeilen und Spalten
- Der Multiplikationssatz und seine Folgen
- Geometrische Bedeutung: Volumen und Orientierung
- Selbst ausprobieren: die Determinante als Flächenfaktor
- Cramersche Regel und Adjunkte
- Typische Fehler und Grenzen der Determinante
Aus den Merksätzen
- det ist die einzige Funktion der Zeilen, die multilinear, alternierend und auf I gleich 1 ist; Zeilentausch ändert das Vorzeichen, Addieren von Vielfachen ändert nichts.
- Für Dreiecksmatrizen ist det das Produkt der Diagonale; praktisch rechnet man mit Gauss (Aufwand ~ n³) und Laplace-Entwicklung bei vielen Nullen.
- A ist genau dann invertierbar, wenn det A ≠ 0; dann gilt det A⁻¹ = 1/det A.
- Multiplikationssatz: det(AB) = det A · det B; ausserdem det Aᵀ = det A und det(λA) = λⁿ det A, aber det(A + B) ≠ det A + det B im Allgemeinen.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.