Eigenwerte und Eigenvektoren
Welche Richtungen eine lineare Abbildung nur streckt: charakteristisches Polynom, Eigenräume und Vielfachheiten.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 10 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Richtungen, die erhalten bleiben
- Eigenräume und das Kriterium mit der Determinante
- Das charakteristische Polynom
- Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
- Selbst ausprobieren: Eigenrichtungen einer 2×2-Matrix finden
- Algebraische und geometrische Vielfachheit
- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind unabhängig
- Komplexe Eigenwerte, Spur, Determinante und Anwendungen
- Typische Fehler im Umgang mit Eigenwerten
Aus den Merksätzen
- v ≠ 0 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ, wenn Av = λv; der Eigenraum Eig(A, λ) = ker(A − λI) enthält alle Eigenvektoren zu λ und den Nullvektor.
- λ ist Eigenwert ⇔ A − λI nicht invertierbar ⇔ χ_A(λ) = det(A − λI) = 0.
- Für 2×2-Matrizen gilt χ_A(λ) = λ² − tr A · λ + det A; bei Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte auf der Diagonale.
- Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom; Summe der Eigenwerte = Spur, Produkt = Determinante (mit Vielfachheit, über ℂ).
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.