Basiswechsel und Ähnlichkeit
Dieselbe lineare Abbildung sieht in jeder Basis anders aus: Wie man zwischen Koordinatensystemen übersetzt und die beste Basis findet.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 35 Min.
- Thema 9 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Koordinaten hängen von der Basis ab
- Die Transformationsmatrix zwischen zwei Basen
- Ein Basiswechsel Schritt für Schritt
- Abbildungsmatrizen unter Basiswechsel
- Ähnliche Matrizen und ihre Invarianten
- Geometrie in einer angepassten Basis
- Anwendungen in Physik, Wirtschaft und Datenverarbeitung
- Typische Fehler und Grenzen der Invarianten
Aus den Merksätzen
- Ist S_B die Matrix mit den Basisvektoren von B als Spalten, so gilt v = S_B [v]_B und [v]_B = S_B⁻¹ v.
- Die j-te Spalte von T_{B←C} ist [cⱼ]_B; es gilt [v]_B = T_{B←C} [v]_C, T_{A←C} = T_{A←B} T_{B←C} und T_{C←B} = T_{B←C}⁻¹.
- Basiswechsel der Abbildungsmatrix: M_C(f) = T⁻¹ M_B(f) T mit T = T_{B←C}; in ℝⁿ mit Standardmatrix A: S⁻¹AS.
- A und B heissen ähnlich, wenn B = S⁻¹AS mit invertierbarem S; ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe Abbildung in verschiedenen Basen.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.