Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
Basen finden, Koordinaten, Dimensionssatz.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 5 von 13 im Kurs: Lineare Algebra
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Das lernst du in diesem Thema
- Lineare Unabhängigkeit
- Unabhängigkeit mit dem Gauss-Verfahren prüfen
- Basis eines Vektorraums
- Koordinaten bezüglich einer Basis
- Das Austauschlemma
- Dimension
- Basen auswählen und ergänzen
- Der Dimensionssatz für Summe und Schnitt
Aus den Merksätzen
- v₁, …, vₖ sind linear unabhängig, wenn λ₁v₁ + … + λₖvₖ = 0 nur für λ₁ = … = λₖ = 0 gilt; in ℝⁿ: Pivot in jeder Spalte.
- Mehr als n Vektoren in ℝⁿ sind stets linear abhängig.
- Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem; jeder Vektor hat eindeutige Koordinaten bezüglich einer Basis.
- Alle Basen haben gleich viele Elemente (Austauschlemma); diese Zahl ist dim V. Beispiele: dim ℝⁿ = n, dim Pₙ = n + 1, dim ℝ^(m×n) = mn.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.