Taylor-Entwicklung und lokale Extrema
Hesse-Matrix, Definitheit, Sattelpunkte.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 5 von 13 im Kurs: Analysis 2
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Das lernst du in diesem Thema
- Die Hesse-Matrix
- Die Taylorformel zweiter Ordnung
- Höhere Ordnungen und Rechentechnik
- Kritische Punkte: die notwendige Bedingung
- Definitheit quadratischer Formen
- Hinreichende Bedingung und Sattelpunkte
- Der semidefinite Fall und globale Extrema
- Anwendung Ausgleichsgerade und typische Fehler
Aus den Merksätzen
- Hf(a) = (∂ᵢ∂ⱼf(a)) ist für f ∈ C² symmetrisch; ⟨h, Hf(a)h⟩ ist die Krümmung in Richtung h.
- f(a + h) = f(a) + ⟨∇f(a), h⟩ + ½⟨h, Hf(a)h⟩ + o(‖h‖²).
- Notwendig für ein lokales Extremum in einem inneren Punkt: ∇f(a) = 0.
- ∇f(a) = 0 und Hf(a) positiv definit ⇒ strenges lokales Minimum; negativ definit ⇒ Maximum; indefinit ⇒ Sattelpunkt.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.