Implizite Funktionen und Umkehrsatz
Wann sich eine Gleichung lokal nach einer Variablen auflösen lässt.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 7 von 13 im Kurs: Analysis 2
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Das lernst du in diesem Thema
- Das Problem: Gleichungen lokal auflösen
- Der Satz über implizite Funktionen in der Ebene
- Beweisidee über Monotonie und Zwischenwertsatz
- Implizites Differenzieren
- Der allgemeine Satz in Matrixform
- Der Umkehrsatz
- Lokal ist nicht global
- Anwendungen und typische Fehler
Aus den Merksätzen
- Satz über implizite Funktionen: F stetig differenzierbar, F(x₀, y₀) = 0, F_y(x₀, y₀) ≠ 0 ⇒ lokal genau eine Auflösung y = g(x), und g ist stetig differenzierbar.
- Ableitung der Auflösung: g′(x) = −F_x(x, g(x)) / F_y(x, g(x)); das Minuszeichen ist wesentlich.
- Matrixform: D_yF invertierbar ⇒ lokale Auflösung mit Dg = −(D_yF)⁻¹·D_xF.
- Umkehrsatz: f stetig differenzierbar, det Df(a) ≠ 0 ⇒ f ist nahe a ein Diffeomorphismus mit D(f⁻¹)(f(a)) = (Df(a))⁻¹.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.