Grenzwerte und Stetigkeit mehrerer Variablen
Niveaumengen, Grenzwerte entlang von Kurven, Stetigkeit.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 2 von 13 im Kurs: Analysis 2
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Das lernst du in diesem Thema
- Funktionen mehrerer Variablen, Graph und Niveaumengen
- Die Definition des Grenzwerts
- Grenzwerte entlang von Geraden und Kurven
- Alle Geraden genügen nicht
- Existenz zeigen: Abschätzen und Polarkoordinaten
- Stetigkeit
- Getrennte Stetigkeit und topologische Sicht
- Satz vom Maximum und typische Fehler
Aus den Merksätzen
- lim_{x→a} f(x) = L verlangt ‖f(x) − L‖ < ε für alle x mit 0 < ‖x − a‖ < δ, egal auf welchem Weg x gegen a läuft.
- Verschiedene Grenzwerte entlang zweier Kurven beweisen, dass kein Grenzwert existiert.
- Gleiche Grenzwerte entlang aller Geraden beweisen nichts: x²y/(x⁴ + y²) hat auf der Parabel y = x² den Wert 1/2.
- Existenz zeigt man mit einer Schranke |f(x) − L| ≤ g(‖x − a‖), g(r) → 0, in Polarkoordinaten unabhängig von φ.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.