Der Raum ℝⁿ: Normen, Topologie und Folgen
Abstände, offene und abgeschlossene Mengen, Konvergenz im ℝⁿ.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 1 von 13 im Kurs: Analysis 2
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Das lernst du in diesem Thema
- Vektoren, Skalarprodukt und euklidische Norm
- Normen im Allgemeinen
- Äquivalenz aller Normen
- Kugeln und offene Mengen
- Abgeschlossene Mengen, Rand und Abschluss
- Folgen im ℝⁿ
- Folgenkriterien, Bolzano-Weierstrass und Kompaktheit
- Typische Fehler und Missverständnisse
Aus den Merksätzen
- Cauchy-Schwarz: |⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖₂‖y‖₂, Gleichheit genau bei linear abhängigen x, y.
- ‖x‖∞ ≤ ‖x‖₂ ≤ ‖x‖₁ ≤ n‖x‖∞; auf ℝⁿ sind alle Normen äquivalent.
- U offen ⇔ zu jedem a ∈ U gibt es r > 0 mit B(a, r) ⊆ U; A abgeschlossen ⇔ ℝⁿ \ A offen.
- Eine Menge kann offen und abgeschlossen zugleich sein (∅, ℝⁿ) oder keines von beiden.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.