Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Charakteristische Gleichung, Schwingungen, Ansatz für die Inhomogenität.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 10 von 13 im Kurs: Analysis 2
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Das lernst du in diesem Thema
- Lineare Gleichungen n-ter Ordnung
- Exponentialansatz und charakteristisches Polynom
- Mehrfache Nullstellen
- Komplexe Nullstellen und reelle Lösungen
- Wronski-Determinante und Anfangswertprobleme
- Gedämpfte Schwingungen
- Inhomogene Gleichungen: Ansatz vom Typ der rechten Seite
- Erzwungene Schwingungen, Resonanz und typische Fehler
Aus den Merksätzen
- Für L[y] = y⁽ⁿ⁾ + … + a₀y mit konstanten aₖ gilt L[e^(λx)] = p(λ)e^(λx); Lösungen entsprechen Nullstellen von p.
- Nullstelle λ der Vielfachheit m liefert e^(λx), x e^(λx), …, x^(m−1) e^(λx).
- Komplexes Paar α ± iβ liefert die reellen Lösungen e^(αx) cos βx und e^(αx) sin βx.
- Der Lösungsraum der homogenen Gleichung n-ter Ordnung hat Dimension n; Unabhängigkeit prüft man mit der Wronski-Determinante.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.