Taylorpolynome und Restglied
Funktionen durch Polynome annähern und den Fehler abschätzen.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 35 Min.
- Thema 9 von 12 im Kurs: Analysis 1
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Das lernst du in diesem Thema
- Von der Tangente zum Taylorpolynom
- Die wichtigsten Taylorpolynome
- Das Restglied nach Lagrange
- Fehlerabschätzungen in der Praxis
- Die qualitative Taylorformel und Eindeutigkeit
- Anwendungen: Grenzwerte und Extrema
- Wann konvergiert das Taylorpolynom gegen f?
- Typische Fehler beim Arbeiten mit Taylor
Aus den Merksätzen
- Tₙ(x) = ∑_{k=0}^{n} f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x − a)ᵏ ist das einzige Polynom vom Grad ≤ n mit denselben Ableitungen bis zur Ordnung n in a.
- Lagrange-Restglied: f(x) − Tₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)! · (x − a)ⁿ⁺¹ mit ξ zwischen a und x.
- Für Abschätzungen braucht man eine Schranke für f⁽ⁿ⁺¹⁾ auf dem ganzen Intervall zwischen a und x.
- Peano-Form: f(x) = Tₙ(x) + o((x − a)ⁿ); aus der Eindeutigkeit folgt, dass man Entwicklungen einsetzen und multiplizieren darf.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.