Potenzreihen und elementare Funktionen
Konvergenzradius, Exponentialfunktion, Sinus, Kosinus und Logarithmus.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 10 von 12 im Kurs: Analysis 1
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Das lernst du in diesem Thema
- Was eine Potenzreihe ist
- Konvergenzradius
- Den Konvergenzradius berechnen
- Gliedweises Differenzieren
- Die Exponentialfunktion
- Sinus und Kosinus
- Logarithmus, allgemeine Potenzen und Arkustangens
- Typische Fehler und Grenzen der Methode
Aus den Merksätzen
- Jede Potenzreihe hat einen Konvergenzradius R ∈ [0, ∞]: absolut konvergent für |x − a| < R, divergent für |x − a| > R; am Rand ist alles möglich.
- Cauchy-Hadamard: R = 1/limsup |aₖ|^(1/k); bei aₖ ≠ 0 oft einfacher R = lim |aₖ/aₖ₊₁|.
- Im Innern des Konvergenzintervalls darf gliedweise differenziert werden; der Radius bleibt gleich, und aₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k!.
- exp(x) = ∑ xᵏ/k! mit exp′ = exp und exp(x + y) = exp(x)·exp(y); eˣ := exp(x).
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.