Mittelwertsatz, Extrema und l'Hôpital
Rolle, Mittelwertsatz, Monotonie, Konvexität und unbestimmte Ausdrücke.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 8 von 12 im Kurs: Analysis 1
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Das lernst du in diesem Thema
- Lokale Extrema und das notwendige Kriterium
- Der Satz von Rolle
- Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Folgerungen: Konstanz, Monotonie und Abschätzungen
- Hinreichende Kriterien für Extrema
- Konvexität
- Die Regel von l'Hôpital
- Typische Fehler beim Anwenden
Aus den Merksätzen
- Notwendig für ein lokales Extremum im Innern bei Differenzierbarkeit: f′(x₀) = 0; hinreichend ist das nicht (x³).
- Rolle: f stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b), f(a) = f(b) ⇒ ∃ ξ ∈ (a, b) mit f′(ξ) = 0.
- Mittelwertsatz: f(b) − f(a) = f′(ξ)·(b − a) für ein ξ ∈ (a, b).
- Auf einem Intervall: f′ = 0 ⇒ f konstant; f′ ≥ 0 ⇔ f wachsend; f′ > 0 ⇒ f streng wachsend.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.