Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
ε-δ-Definition, Zwischenwertsatz und Satz vom Maximum.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 40 Min.
- Thema 6 von 12 im Kurs: Analysis 1
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Das lernst du in diesem Thema
- Grenzwerte von Funktionen
- Folgenkriterium und einseitige Grenzwerte
- Stetigkeit: Definition und Beispiele
- Rechenregeln und stetige Fortsetzung
- Der Zwischenwertsatz
- Der Satz vom Maximum und Minimum
- Folgerungen: Wurzeln, Fixpunkte, Umkehrfunktionen
- Typische Fehler und Ausblick auf gleichmässige Stetigkeit
Aus den Merksätzen
- lim_(x→x₀) f(x) = L: Zu jedem ε > 0 gibt es δ > 0 mit |f(x) − L| < ε für alle x ∈ D mit 0 < |x − x₀| < δ.
- f ist stetig in x₀ genau dann, wenn aus xₙ → x₀ stets f(xₙ) → f(x₀) folgt (Folgenkriterium).
- Summen, Produkte, Quotienten (Nenner ≠ 0) und Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig.
- Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion auf [a, b] nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.