Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln
Ableitung als Grenzwert, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, Umkehrfunktion.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 35 Min.
- Thema 7 von 12 im Kurs: Analysis 1
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Das lernst du in diesem Thema
- Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
- Lineare Approximation und Stetigkeit
- Gegenbeispiele: wo Differenzierbarkeit scheitert
- Summen- und Produktregel
- Quotientenregel und Kettenregel
- Ableitung der Umkehrfunktion
- Höhere Ableitungen und Glattheitsklassen
- Typische Fehler und wie man sie erkennt
Aus den Merksätzen
- f ist in x₀ differenzierbar ⇔ f(x₀ + h) = f(x₀) + a·h + o(h) für ein a ∈ ℝ; dann ist a = f′(x₀).
- Differenzierbar ⇒ stetig, aber nicht umgekehrt: |x| ist in 0 stetig, aber nicht differenzierbar.
- Produktregel (fg)′ = f′g + fg′, Quotientenregel (f/g)′ = (f′g − fg′)/g² für g ≠ 0.
- Kettenregel (f∘g)′(x) = f′(g(x)) · g′(x); der saubere Beweis benutzt eine stetige Hilfsfunktion statt einer Division.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.