Folgen und Grenzwerte
Die ε-N-Definition der Konvergenz verstehen und selbst Grenzwerte beweisen.
- Lektion, Checkliste und 8 Übungsfragen · ca. 35 Min.
- Thema 2 von 12 im Kurs: Analysis 1
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Das lernst du in diesem Thema
- Folgen als Funktionen auf den natürlichen Zahlen
- Die ε-N-Definition der Konvergenz
- Grenzwerte beweisen: das Vorgehen
- Eindeutigkeit und Beschränktheit
- Divergenz und bestimmte Divergenz
- Wichtige Standardgrenzwerte
- Eine Rechnung mit konkretem ε
- Typische Fehler beim Arbeiten mit der Definition
Aus den Merksätzen
- aₙ → a bedeutet: ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: |aₙ − a| < ε; N darf von ε abhängen, nicht von n.
- Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig, und jede konvergente Folge ist beschränkt.
- Beschränktheit allein genügt nicht für Konvergenz: (−1)ⁿ ist beschränkt und divergent.
- Standardgrenzwerte: 1/nᵏ → 0, qⁿ → 0 für |q| < 1, ⁿ√a → 1 für a > 0, ⁿ√n → 1.
Die vollständige Lektion, die Checkliste, alle Merksätze und die Übungsfragen mit Erklärung sind Teil des Kurses.